Cuando una ecuación se usa para representar una función es conveniente utilizar una notación especial para designar las funciones de manera que pueda ser referenciada fácilmente. Por ejemplo, se sabe que la relación y = 1 - x2 describe a y como función de x. Suponga que a esta función se le designa con "f" entonces se puede usar la siguiente notación:
Entrada Salida Ecuación x f(x) f(x) = 1-x2
El símbolo f(x) se lee el valor de f en x o, simplemente, f de x. El símbolo f(x) corresponde al valor de y para una x dada. Por tanto, se puede escribir y = f(x). Tenga en cuenta que f es el nombre de la función, en tanto que f(x) es el valor de la función en x. Por ejemplo, la función dada por
f(x) = 3 - 2x
tiene valores denotados por f(-1), f(0), f(2) y así sucesivamente. Para encontrar estos valores, se sustituyen los valores de entrada en la expresión algebraica de la función.
Para x = -1, f(-1) = 3 - 2(1) = 3 + 2 = 5
Para x = 0, f(0) = 3 - 2(0) = 3 - 0 = 3
Para x = 2, f(2) = 3 - 2(2) = 3 - 4 = -1
Por lo general, se emplea la letra f para designar una función y la letra x para la variable independiente; sin embargo, se pueden emplear otras letras, por ejemplo,
todas definen la misma función. De hecho, el papel de la variable independiente es el de un símbolo que ocupa un lugar. En consecuencia, la función se podría describir por
f( __ ) = ( __ )2 – 4( __ ) + 7
Dominio de una función
El dominio de una función se puede describir en forma explícita, o se puede dar en forma implícita, mediante la expresión que define la función. El dominio dado en forma implícita es el conjunto de todos los números reales para los que se define la expresión. Por ejemplo, la función dada por
f(x) =
1
El dominio excluye los valores x que resultan de una división entre
cero
x2 - 4
tiene dominio implícito, que consiste de todas las x reales diferentes de x = ±2. Estos dos valores se excluyen del dominio, debido a que la división entre cero no está definida. Otro tipo de dominio implícito es el empleado para evitar raíces pares de números negativos. Por ejemplo, la función dada por
f(x) =
√x
El dominio excluye los valores x que con raíces pares de números
negativos
está definida solo para x ≥ 0. Por tanto el dominio implícito es el intervalo [0, ∞). En general, el dominio de una función excluye valores que ocasionen la división entre cero o, que sean raíz par de un número negativo.
Contradominio o rango de una función
Es el conjunto de todos los valores (salidas) resultantes de la variable dependiente y, es decir, son los valores posibles a obtener de la función.
Muchos fenómenos cotidianos implican dos cantidades que están relacionados entre sí mediante alguna regla de correspondencia. El término matemático para esa regla de correspondencia es relación. En matemáticas, con frecuencia, las relaciones se representan mediante ecuaciones y fórmulas matemáticas. Por ejemplo, el interés simple, I, ganado por 1,000 dolares durante 1 año, esta relacionado con la tasa de interés anual, r, mediante la fórmula I = 1000r.
La fórmula I = 1000r representa una clase especial de relación que asigna a cada elemento de un conjunto, exactamente, un elemento de otro conjunto. Esa relación se denomina función.
Definición
Una función f, de un conjunto conjunto A a un conjunto B, es una regla que asigna a cada elemento, x, del conjunto A, exactamente, un elemento, y, del conjunto B. El conjunto A (o conjunto de entrada) es el dominio de la función f, y el conjunto B (o conjunto de salida) contiene el rango de f.
Características de una función del conjunto A al conjunto B
1. Cada elemento de A debe estar relacionado con un elemento de B.
2. Algunos elementos de B, tal vez, no se puedan relacionar con algunos elementos de A.
3. Es posible que dos, o más, elementos de A se relaciones con un mismo elemento de B.
4. Un elemento de A (el dominio), no se puede relacionar con dos elementos distintos de B.
Formas para representar una función
1. Verbalmente, mediante una oración que describa como la variable de entrada está relacionada con la variable de salida.
2. Numéricamente, mediante una tabla o una lista de pares ordenados que relaciona valores de entrada con valores de salida.
3. Gráficamente, mediante puntos en una gráfica en un plano coordenado, en el que los valores de entrada están representados por el eje horizontal y los valores de salida están representados por el eje vertical.
4. Algebraicamente, mediante una igualdad en dos variables.
Para determinar si una relación es, o no, función se debe decidir si cada valor de entrada está relacionado, exactamente, con un valor de salida. Si cualquier valor de entrada esta relacionado con dos o mas, valores de salida la relación no es una función. La notación de función y=f(x) fué introducida por Leonhard Euler. La representación de funciones mediante conjuntos de pares ordenados es común en matemáticas discretas. Sin embargo en álgebra es más común representar funciones mediante igualdades, o fórmulas que incluyen 2 variables. Por ejemplo, la igualdad y = x2(y es función de x) representa la variable y como función de la variable x. En esta igualdad, x es la variable independiente y la variable dependiente es y. El dominio de la función es el conjunto de todos los valores asignados a la variable independiente x; el rango de la función es el conjunto de todos los valores correspondientes a la variable dependiente y.
(a) Eje x (i) Punto de intersección del eje vertical con el horizontal
(b) Eje y (ii) Distancia dirigida desde el eje x
(c) Origen (iii) Distancia dirigida desde el eje y
(d) Cuadrantes (iv) Cuatro regiones del plano coordenado
(e) Coordenada x (v) Recta horizontal de números reales
(f) Coordenada y (vi) Recta vertical de números reales
2. Encuentre las coordenadas del punto:
a) El punto se localiza tres unidades a la izquierda del eje y y cuatro unidades arriba del eje x.
b) El punto se localiza ocho unidades debajo del eje x y cuatro unidades a la derecha del eje y.
c) El punto se localiza cinco unidades debajo del eje x y ambas coordenadas son iguales.
d) El punto está en el eje x y 12 unidades a la izquierda del eje y.
3. En los siguientes ejercicios:
(a) Proporcione una descripción verbal del subconjunto de números reales representado por la desigualdad o por el intervalo,
(b) Dibuje el subconjunto de números reales en la recta y
(c) Indique si el intervalo es o no acotado.
i) x ≤ 5
ii) x < 0
iii) [4, ∞)
iv) -2 < x < 2
v) -1 ≤ x < 0
vi) [-2, 5)
vii) x ≥ -2
viii) x > 3
ix) (-∞, 2)
x) 0 ≤ x ≤ 5
xi) 0 < x ≤ 6
xii) (-1, 2]
Definición de Cálculo
La palabra "CÁLCULO" proviene del termino latino "calculus" (piedra) y se refiere a la cuenta, la enumeración o la pesquisa que se lleva a cabo mediante un ejercicio matemático. El concepto también se utiliza como símbolo de conjetura.
El uso más extendido del término se encuentra en el ámbito de la lógica o de la matemática, donde el cálculo consiste en un algoritmo (un conjunto de instrucciones preestablecidas) que permite anticipar el resultado que procederá de ciertos datos que se conocen con anticipación. El origen etimológico de la palabra tiene que ver con las rocas que se empleaban en la antigüedad para realizar este tipo de cálculos.
En matemáticas, es la rama que se ocupa del estudio de los incrementos de las variables, pendientes de curvas, valores máximo y mínimo de funciones y de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingeniería, siempre que haya cantidades que varíen de forma continua.
El cálculo diferencial estudia los incrementos en las variables.
Definición de números reales
Los números reales son los que pueden ser expresados por un número entero (3, 28, 1568) o decimal (4.28, 289.6, 39985.4671). Esto quiere decir que abarcan los números racionales (que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y los números irracionales (los que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador diferente a cero).
El plano cartesiano
Así como se pueden representar números reales mediante puntos sobre una recta, también se pueden representar pares ordenados de números reales mediante puntos en un plano llamado sistema coordenado rectangular o plano cartesiano, denominado así en honor del matemático francés René Descartes (1596 - 1650).
El plano cartesiano se forma usando dos rectas de números reales que se intersecan de manera perpendicular. La recta numérica horizontal se denomina eje xy la vertical es el eje y. El punto de intersección de estos dos ejes es el origen y los dos ejes dividen el plano en cuatro partes a las que se les llama cuadrantes.
Cada punto en el plano corresponde a un par ordenado (x, y) de números reales x y y, llamados coordenadas del punto. La coordenada x representa la distancia dirigida desde el eje y y la coordenada y representa la distancia dirigida desde el eje x al punto.
La notación (x, y) denota tanto un punto en el plano como un intervalo abierto sobre la recta numérica real. El contexto le indicará cual es el significado atribuido.
Intervalos
Procede del latín "intervallum" (espacio, pausa) y menciona la distancia o el espacio que hay de un lugar a otro o de un tiempo a otro. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real, es decir, una parte de recta entre dos valores dados. Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad de la recta real.
Desigualdad
Si a y b son números reales entonces a es menor que b, si b - a es un número positivo. El orden de a y b se denota con la desigualdad a < b. Esta relación también se puede describir diciendo que b es mayor que a y se escribe b > a. La desigualdad a ≤ b significa que a es menor o igual que b, y la desigualdad b ≥ a significa que b es mayor o igual que a. Los símbolos <, >, ≤ , ≥ son símbolos de desigualdad.
describe a y como función de x. Suponga que a esta función se le designa con "f" entonces se puede usar la siguiente notación:
